根据我国法律法规，公安机关在打击非法行医活动中的执法权限主要包括以下几点：

1. 调查取证权：公安机关有权对涉嫌非法行医的行为进行调查，收集相关证据，如询问当事人和证人、查阅或复制有关资料、扣押与案件有关的物品等（《行政处罚法》第三十七条）。

2. 现场查处权：对于正在进行的非法行医行为，公安机关有权立即予以制止，并可以依法对现场进行检查，对相关设施、设备及药品进行查封、扣押（《治安管理处罚法》第八十九条）。

3. 采取强制措施权：对拒绝、阻碍公安人员执行职务，或者有逃跑可能的非法行医者，公安机关可依法采取拘留等强制措施（《刑事诉讼法》第八十条）。

4. 追究刑事责任权：对于情节严重构成犯罪的非法行医行为，公安机关应当立案侦查，依法追究其刑事责任（《刑法》第三百三十六条关于非法行医罪的规定，《刑事诉讼法》第一百一十二条关于立案侦查的规定）。

根据我国相关法律规定，非法行医是指未取得医生执业资格的人擅自从事诊疗活动的行为。一般情况下，非法行医首先会受到卫生行政部门的行政处罚，如罚款、没收违法所得、吊销许可证等。

当非法行医行为触犯刑法规定时，将会面临刑事责任。例如，《刑法》第三百三十六条第一款规定：“未取得医生执业资格的人非法行医，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；造成就诊人死亡的，处十年以上有期徒刑，并处罚金。”此处的“情节严重”通常包括但不限于造成就诊人重伤或死亡，以及多次非法行医、明知故犯等情况。

当非法行医行为同时构成行政违法行为和刑事犯罪时，根据《行政处罚法》与《刑法》的规定，应当实行行政刑事责任并罚，即既要接受行政处罚，也要接受刑事处罚。