公安机关在接到遗弃罪的报案后，首先会进行立案审查，判断是否有犯罪事实存在。根据《刑事诉讼法》第110条，如果认为有犯罪事实需要追究刑事责任，应当立案。然后，他们会进行初步调查，包括收集相关证据，如医疗记录、目击者证词、视频监控等。《刑事诉讼法》第126条规定了侦查机关的调查权力，包括询问、搜查、扣押等。同时，公安机关还需要遵守《刑法》第261条关于遗弃罪的规定，即对无独立生活能力的人负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为进行查处。

遗弃行为主要涉及《刑法》和《婚姻法》的相关规定。根据《刑法》第261条，遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。而故意失踪，如果没有明确的证据证明其意图遗弃家庭成员，通常不会被认定为遗弃行为。因为遗弃行为需要有主观上的故意和客观上的拒绝扶养行为。

遗弃罪是刑法中的一项罪名，主要针对的是有抚养、扶养、赡养义务的人故意不履行其义务，将被抚养人、被扶养人或被赡养人遗弃，导致他们生活困难或者健康受到威胁的情况。这种行为的犯罪性并不在于短暂的、偶然的离弃，而在于长期、持续的遗弃，尤其是在被遗弃者无法自我照顾的情况下。