合同与协议在法律上的核心区别在于适用法律和成立要件不同，合同是受民法典合同编专门调整的民事法律行为，协议则范围更广包括身份关系等多种约定。双方私下签订的协议只要符合法定生效要件即具有法律约束力，公证并非协议生效的必要条件。