羁押审查申请的核心是质疑或挑战司法机关对犯罪嫌疑人的羁押决定。申请人（通常是辩护律师）需要提供足够的证据和理由来证明羁押的必要性不足，或者羁押行为违反了法律规定。这可能包括但不限于以下材料：

1. 犯罪嫌疑人的基本情况，如身份证明、犯罪事实概述；

2. 与案件相关的证据材料，如证明嫌疑人无罪或罪行轻微的证据；

3. 法律意见书，详细阐述羁押的合法性问题；

4. 羁押对嫌疑人及其家庭可能造成的严重影响的说明；

5. 如果有的话，之前羁押期间的不当行为的证据。

在羁押审查阶段，也就是犯罪嫌疑人被拘留或逮捕后，公安机关、人民检察院会对案件进行进一步的侦查。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，犯罪嫌疑人、被告人在整个诉讼过程中享有辩护权。这意味着他们有权对指控进行否认、解释或者提供有利于自己的事实和证据。同时，他们也可以通过律师进行辩护。

根据《刑事诉讼法》的规定，在审查起诉阶段和审判阶段，嫌疑人、被告人有权委托辩护人进行代理。辩护人在审查起诉阶段可以查阅、摘抄、复制案卷材料，与嫌疑人会见和通信，了解案件有关情况，并提出辩护意见。这意味着嫌疑人在审查期间不仅有权利获得律师的法律咨询和援助，而且律师可以在一定程度上代表嫌疑人行使相关的诉讼权利，对案件进程产生实质影响。