正确的程序是：用人单位提前一个月通知合同到期人员，征询他们是否愿意续签劳动合同，如果愿意，则签订新的劳动合同。如果不愿意，旧的劳动合同的期限到期时，合同自然终止。老员工也可以在劳动合同到期前，与用人单位协商续签劳动合同。

法律依据《劳动合同法》第四十二条

劳动合同期满，经当事人双方协商同意延续劳动合同的，应当在合同期满前一个月日内办理续延手续。
《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条规定：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

法律依据《劳动合同法》第八十二条

可申请劳动仲裁